矩陣運算Matrix Algebra

矩陣運算Matrix Algebra

源自於
http://www.stat.nctu.edu.tw/misg/SUmmer_Course/C_language/main.htm

矩陣運算：包含各種基本矩陣運算、可逆矩陣、trace、行列式、反矩陣、方塊矩陣、行運算、列運算、Vandermonde行列式、Crammer公式、正交矩陣、伴隨矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、方程組求解、QR分解、LU分解、奇異值分解、相似矩陣等部份.

(1).  Gauss 消去法: 高斯消去法分成兩個步驟來求解 n 元一次聯立方程式的解，前半段是消去法、後半段是反代法，而得到所要的答案
(2).  Gauss -Jordan消去法:高斯消去法分成兩個步驟來求解 n 元一次聯立方程式的解，前半段是消去法、後半段是反代法，此法無法直接由消去法得到所要的答案。高斯-喬丹法則只執行消去法，將原矩陣借由列的運算化簡為單位矩陣(高斯法只將原矩陣化簡為上三角矩陣)，此時等號右邊的行向量 b 所得到的結果即為所要的答案。

(3).  LU分解:利用 Crout Reduction (or called Cholesky Reduction)將矩陣 A 分解成一上三腳矩陣 U 與一下三角矩陣 L ，所以方程式為：

Suppose Ax=B => A=LU => LUx=B

Let Ux=b , ==> Lb=B , get b. Since Ux=b, finally get x.

   LU 分解法的好處:

    (I).  A 分解成 LU 以後可存起來,若有其它的 b 待解則只需反代即可.

    (II). 進行主對角線最大化,但因為分解 LU 時 b 並沒有參與,因此需使用一整數陣列儲存其列對調的順序。

　

(4).  QR分解[3]:QR分解法是將矩陣分解成一個正規正交矩陣與上三角形矩陣,其中Q滿足QQ^T=I的條件.

(5).奇異值分解 : (singular value decomposition, SVD) 是另一種正交矩陣分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR分解法要花上近十倍的計算時間。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二個相互正交矩陣，而S代表一對角矩陣。和QR分解法相同者，原矩陣A不必為正方矩陣

(6).疊代法 [4]:著名的有 Jacobi , Gauss-Seidel , and Successive over-relaxation (SOR), .....
　
參考網站:
1. 矩陣I/O,運算,程式碼下載 : http://math.nist.gov/MatrixMarket/
2. Mathematical software, papers, and databases: http://www.netlib.org/
3. QR分解 : http://m707.math.arizona.edu/~restrepo/475A/Notes/sourcea/node78.html
4. Iterative Techniques for Solving Linear Systems : http://m707.math.arizona.edu/~restrepo/475A/Notes/sourcea/node70.html

5. Solving nonlinear systems iteratively: http://m707.math.arizona.edu/~restrepo/475A/Notes/sourcea/node69.html