alex9ufo 聰明人求知心切: 定積分之數值計算

2018年12月31日星期一

定積分之數值計算

源自於 http://www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c6_4/bud.htm

定積分之數值計算

若不知 $f$ 之反導數, 則便無法利用微積分基本定理求定積分 $\int_a^b f(x)dx$ 之值。不過我們卻可求此定積分之近似值至其任意精確度。方法之一便是利用第二章定理 4.9, 以 Riemann 和來逼近。

在實際應用時, 可取 $P_1$ , $P_2,\cdots$ 為 $[a, b]$ 之一正規分割數列若 $P_n \linebreak =\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$ , 則可以

$\begin{displaymath} R(P_n)=\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x, \end{displaymath}$

或

$\begin{displaymath} R_1(P_n)=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x, \end{displaymath}$

當做第 $n$ 個 Riemann 和, 其中 $\Delta x=(b-a)/n$ 只要 $n$ 夠大, 可以 $R(P_n)$ 與 $R_1(P_n)$ 之算術平均來估計 $\int_a^b f(x)dx$ , 通常此為一更好的估計。而

$\begin{eqnarray*} &&\frac 1 2 (R(P_n)+R_1(P_n)) \\ &&=\frac {\Delta x} 2(\sum_{... ...\sum_{i=1}^{n-1}2f(x_i)+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}$ 。

因此若 $P_n=\{x_0,x_1, \cdots,x_n\}$ 為 $[a, b]$ 之一正規分割, 則

$\begin{displaymath} \hspace*{0.8cm} \int_a^b f(x)dx \doteq \frac {b-a}{2n}(f(x_0... ...1)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}$ 。

(4.1)

上述積分公式便稱為梯形法 (trapezoidal rule)此名稱之由來如下

設 $f(x)\geq 0$ , $x\in [a, b]$ , 則如圖 4.1 可看出, (4.1) 式之右側為 $n$ 個高皆為 $\Delta x=(b-a)/n$ 之梯形的面積和

例 1.設 $f(x)=\sqrt {x^2+1}$ 利用梯形法求在 $f$ 之圖形下, 由 0 至 3 之面積。

其次來看梯形法之一推廣, 此法源自於 Simpson (1710-1761), 故稱之為 Simpson 法 (Simpson's rule), 為一較梯形法更精確的估計定積分的方法。

設 $f$ 為一在 $[a, b]$ 上連續之函數, 梯形法是以一線段來逼近 $f$ 之圖形, 而 Simpson 法是以一拋物線來逼近 $f$ 之圖形, 所以又稱拋物線法 (parabolic rule)。我們先看拋物線的一些性質給三個不共線之相異點 $(-\Delta x, y_0)$ , $(0, y_1)$ 及 $(\Delta x, y_2)$ , 恰有一拋物線

通過此三點, 其中係數 $a_0, a_1, a_2$ 滿足下述三方程式。

$\displaystyle y_0$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_2(-\Delta x)^2+a_1(-\Delta x)+a_0,$	(4.2)
$\displaystyle y_1$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_0,$	(4.3)
$\displaystyle y_2$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_2 (\Delta x)^2+a_1\Delta x +a_0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }}$ 。	(4.4)

而在此拋物線下, 由 $-\Delta x$ 至之面積 (見圖 4.2) 為

$\begin{eqnarray*} \int_{-\Delta x}^{\Delta x}(a_2 x^2+a_1 x+a_0)dx &=& (\frac {a... ...lta x} 3(2a_2(\Delta x)^2+6a_0)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}$ 。

由 (4.2)-(4.4), 可證明

$\begin{displaymath} y_0+4y_1+y_2=2a_2(\Delta x)^2+6a_0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}$ 。

此即圖 4.2 中拋物線下的面積。

若將拋物線平移, 設有一拋物線 $y=a_0 x^2+a_1 x+a_0$ 通過 $(x_0, y_0)$ , $(x_1, y_1)$ 及 $(x_2, y_2)$ 等三點, 見圖 4.3, 其中 $\Delta x=x_2-x_1=x_1-x_0$ 則顯然拋物線下的面積仍相同, 即

。

設 $P_n=\{x_0,x_1, \cdots,x_n\}$ 為 $[a, b]$ 之一正規分割, 其中 $n$ 為一偶數, 且令 $\Delta x=(b-a)/n$ 。則

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)dx &=& \int_{x_0}^{x_2}f(x)dx+\int_{x_2}^{x_4}f(x... ... && +\int_{x_{n-2}}^{x_n}f(x)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}$ 。

其中每一積分 $\int_{x_i}^{x_{i+2}}f(x)dx$ 皆可以一通過三點 $(x_i, f(x_i))$ , $(x_{i+1},\linebreak f(x_{i+1}))$ 及 $(x_{i+2}, f(x_{i+2}))$ 之拋物線下的面積來逼近又由前面已得的結果知:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_2} f(x)dx &\doteq& \frac {\Delta x}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)),\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{x_2}^{x_4} f(x)dx &\doteq& \frac {\Delta x}{3}(f(x_2)+4f... ...(f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}$ 。

將這些式子左、右各分別相加, 即得

$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$	$\textstyle \doteq$	$\displaystyle \frac {b-a}{3n}(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots$
		$\displaystyle +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }}$ 。	(4.5)