FFT 結果的物理意義

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FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個時域信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難 看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多信號分析採用 FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出来，這在頻譜分析方面也是經常用的。 雖然很多人都知道FFT是什麼，可以用來做什麼，怎麼去做，但是却不知道FFT之後的結果是什意思、 如何決定要使用多少點來做FFT。 一個類比信號，經過ADC採樣之後，就變成了數位信號。採樣定理告訴我們，採樣頻率要大於信號 頻率的兩倍，這些我就不在此囉嗦了。 採樣得到的數位信號，就可以做FFT變換了。N個採樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT 結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。 假設採樣頻率為Fs，信號頻率F，採樣點數為N。那麼FFT之後結果就是一個為N點的複數。每一個點 就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什麼 關係呢？假設原始信號的峰值為A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值 就是A的N/2倍。 而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是 在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點 N的再下一個點（實際 上這個點是不存在的，這裡是假設的第N+1個點，可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最 後）則表示採樣頻率Fs，這中間被 N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加 。 Fn所能分辨到頻率為 Fs/N，如果採樣頻率Fs為1024Hz，採樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。 1024Hz的採樣率採樣1024點，剛好是1秒，也就是說，採樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以 分析到1Hz，如果採樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力， 則必須增加採樣點數，也即採樣時間頻率分辨率和採樣時間是倒數關係。假設FFT之後某點n用複數 a+bi表示 。對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由於FFT結果的對稱性，通常我們 只使用前半部分的結果，即小於採樣頻率一半的結果。 假設我們有一个信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號， 以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180) 式中cos參數為弧度，所以-30度和90度要分别換算成弧度。我們以256Hz的採樣率對這個信號進行 採樣，總共採樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的 間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分别在 第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情况如何呢？ 我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。 從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分别將這三個點附近的 數據拿上來仔細看： 1點  ： 512+0i 2點  ： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3點  ： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 51點：332.55 - 192i 52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76點：3.4315E-12 + 192i 77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些貧率點上 的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分别計算這三個點的模值，結果如下： 1點  ： 512 51點：384 76點：192 按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為： 384/(N/2)=384/(256/2)=3； 75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。 然後再來計算相位信息。直流信號没有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位， atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。 再計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度 180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。 根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。 總結：假設採樣頻率为Fs，採樣點數為N，做FFT之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率為： Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以N）； 該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函数atan2(b,a)計算。atan2(b,a) 是求座標為(a,b)點的角度值，範圍為 -pi到pi。要精確到xHz，則需要採樣長度為1/x秒的信號， 並做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加採樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較 短的時間内完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法 Zoom FFT，比較簡單的方法是採樣比較短 時間的信號，然後在后面補充一定數量的0，使其常度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能 够提高頻率分辨力。 [附錄：本測試數據使用的Matlab程式] close all;     % 先關閉所有圖片 Adc=2;        % 直流分量幅度 A1=3;         % 頻率F1信號的幅度 A2=1.5;      % 頻率F2信號的幅度 F1=50;       % 信號1頻率(Hz) F2=75;       % 信號2頻率(Hz) Fs=256;     % 採樣頻率(Hz) P1=-30;     % 信號1相位(度) P2=90;      % 信號相位(度) N=256;      % 採樣點數 t=[0:1/Fs:N/Fs]; %採樣時間                 % 信號 S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);                 % 顯示原始信號 plot(S); title('原始信號'); figure; Y = fft(S,N);           % 做FFT變換 Ayy = (abs(Y));       % 取模 plot(Ayy(1:N));        % 顯示原始的FFT模值结果 title('FFT 模值'); figure; Ayy=Ayy/(N/2);       % 換算成實際的幅度 Ayy(1)=Ayy(1)/2; F=([1:N]-1)*Fs/N;   % 換算成實際的頻率值 plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   % 顯示換算後的FFT模值结果 title('幅度-頻率曲線圖'); figure; Pyy=[1:N/2]; for i=1:N/2 Pyy(i)=phase(Y(i));           % 計算相位 Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi;        % 換算為角度 end; plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   % 顯示相位圖 title('相位-頻率曲線圖');