2014年5月24日 星期六

FFT 結果的物理意義

源自http://oursogo.com/thread-1623240-1-1.html

FFT是離散傅立葉變換的快速算法,可以將一個時域信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難
看出什麼特徵的,但是如果變換到頻域之後,就很容易看出特徵了。這就是很多信號分析採用
FFT變換的原因。另外,FFT可以將一個信號的頻譜提取出来,這在頻譜分析方面也是經常用的。

雖然很多人都知道FFT是什麼,可以用來做什麼,怎麼去做,但是却不知道FFT之後的結果是什意思、
如何決定要使用多少點來做FFT。

一個類比信號,經過ADC採樣之後,就變成了數位信號。採樣定理告訴我們,採樣頻率要大於信號
頻率的兩倍,這些我就不在此囉嗦了。

採樣得到的數位信號,就可以做FFT變換了。N個採樣點,經過FFT之後,就可以得到N個點的FFT
結果。為了方便進行FFT運算,通常N取2的整數次方。

假設採樣頻率為Fs,信號頻率F,採樣點數為N。那麼FFT之後結果就是一個為N點的複數。每一個點
就對應著一個頻率點。這個點的模值,就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什麼
關係呢?假設原始信號的峰值為A,那麼FFT的結果的每個點(除了第一個點直流分量之外)的模值
就是A的N/2倍。 而第一個點就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢,就是
在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量(即0Hz),而最後一個點 N的再下一個點(實際
上這個點是不存在的,這裡是假設的第N+1個點,可以看做是將第一個點分做兩半分,另一半移到最
後)則表示採樣頻率Fs,這中間被 N-1個點平均分成N等份,每個點的頻率依次增加 。

Fn所能分辨到頻率為 Fs/N,如果採樣頻率Fs為1024Hz,採樣點數為1024點,則可以分辨到1Hz。
1024Hz的採樣率採樣1024點,剛好是1秒,也就是說,採樣1秒時間的信號並做FFT,則結果可以
分析到1Hz,如果採樣2秒時間的信號並做FFT,則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力,
則必須增加採樣點數,也即採樣時間頻率分辨率和採樣時間是倒數關係。假設FFT之後某點n用複數
a+bi表示 。對於n=1點的信號,是直流分量,幅度即為A1/N。由於FFT結果的對稱性,通常我們
只使用前半部分的結果,即小於採樣頻率一半的結果。

假設我們有一个信號,它含有2V的直流分量,頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號,
以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下:

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參數為弧度,所以-30度和90度要分别換算成弧度。我們以256Hz的採樣率對這個信號進行
採樣,總共採樣256點。按照我們上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我們可以知道,每兩個點之間的
間距就是1Hz,第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率:0Hz、50Hz、75Hz,應該分别在
第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值,其它各點應該接近0。實際情况如何呢?
我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。




從圖中我們可以看到,在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分别將這三個點附近的
數據拿上來仔細看:
1點  : 512+0i
2點  : -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點  : -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點:332.55 - 192i
52點:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點:-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點:3.4315E-12 + 192i
77點:-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明顯,1點、51點、76點的值都比較大,它附近的點值都很小,可以認為是0,即在那些貧率點上
的信號幅度為0。接著,我們來計算各點的幅度值。分别計算這三個點的模值,結果如下:
1點  : 512
51點:384
76點:192
按照公式,可以計算出直流分量為:512/N=512/256=2;50Hz信號的幅度為:
384/(N/2)=384/(256/2)=3;
75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見,從頻譜分析出來的幅度是正確的。
然後再來計算相位信息。直流信號没有相位可言,不用管它。先計算50Hz信號的相位,
atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度,換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。
再計算75Hz信號的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,換算成角度
180*1.5708/pi=90.0002。可見,相位也是對的。

根據FFT結果以及上面的分析計算,我們就可以寫出信號的表達式了,它就是我們開始提供的信號。
總結:假設採樣頻率为Fs,採樣點數為N,做FFT之後,某一點n(n從1開始)表示的頻率為:
Fn=(n-1)*Fs/N;該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度(對於直流信號是除以N);
該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函数atan2(b,a)計算。atan2(b,a)
是求座標為(a,b)點的角度值,範圍為 -pi到pi。要精確到xHz,則需要採樣長度為1/x秒的信號,
並做FFT。要提高頻率分辨率,就需要增加採樣點數,這在一些實際的應用中是不現實的,需要在較
短的時間内完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法 Zoom FFT,比較簡單的方法是採樣比較短
時間的信號,然後在后面補充一定數量的0,使其常度達到需要的點數,再做FFT,這在一定程度上能
够提高頻率分辨力。

[附錄:本測試數據使用的Matlab程式]

close all;     % 先關閉所有圖片
Adc=2;        % 直流分量幅度
A1=3;         % 頻率F1信號的幅度
A2=1.5;      % 頻率F2信號的幅度
F1=50;       % 信號1頻率(Hz)
F2=75;       % 信號2頻率(Hz)
Fs=256;     % 採樣頻率(Hz)
P1=-30;     % 信號1相位(度)
P2=90;      % 信號相位(度)
N=256;      % 採樣點數
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %採樣時間
                % 信號
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
                % 顯示原始信號
plot(S);
title('原始信號');























figure;
Y = fft(S,N);           % 做FFT變換
Ayy = (abs(Y));       % 取模
plot(Ayy(1:N));        % 顯示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2);       % 換算成實際的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N;   % 換算成實際的頻率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   % 顯示換算後的FFT模值结果
title('幅度-頻率曲線圖');
















































figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i));           % 計算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi;        % 換算為角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   % 顯示相位圖
title('相位-頻率曲線圖');





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