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2021年6月10日星期四

雙曲函數

双曲正弦满足恒等式 sinh(x)=ex−e−x2。换句话说，sinh(x) 是函数 ex 和 e−x

之差的一半。通过绘制函数可对此进行验证。

x = -5:0.01:5;

y = sinh(x);

plot(x,y)

line([0,0],[-80,80], 'Color','r')

line([-5,5],[0,0], 'Color','r')

grid on

操作元	範例	說明
&	C=A&B	AB兩元素均為1時為1，否則為0
｜	C=A｜B	任一A或B為1為正，否則為0
~	C=~A	非Ａ，即A為０時為１，否則為０
xor	C=xor(A,B)	僅其中一個為非零時為1，否則為０

操作元	範例	說明
any	C=any(A,dim)	A矩陣中之任何行向元素不為０時為1，否則為0。dim=2時為列向。
all	C=all(A)	矩陣中之任何行向元素均為1時為1，否則為0。dim=2時為列向。
isprime	C=isprime(A)	Ａ矩陣中，元素為質數時為1時為１，否則為０
isequal	C= isequal(A)	僅其中一個為非零時為1，否則為０
isempty	C= isempty(A)	若為空矩陣為1，否則為0
isinteger	C= isinteger(A)	若為整數為1，否則為0
isnumeric	C= isnumeric(A)	若為數值為1，否則為0
isreal	C= isreal(A)	若為實數為1，否則為0
isfinite	C= isfinite(A)	若為定值為1，否則為0
logical	C= islogical(A)	將矩陣Ａ轉為邏輯值，非零為1
islogical	C= islogical(A)	若為邏輯值為1，否則為0
ischar	C= ischar(A)	若為文字值為1，否則為0
iscell	C= iscell(A)	若為細胞陣列為1，否則為0
find	C=find(A);C=find(A>B)	找尋矩陣A中不為零之序號,存於C找尋矩陣A大於B之序號存於C

關係操作元

源自於http://bime-matlab.blogspot.com/2006/10/31_09.html

兩陣列間之相互比較是常有的事，若能配合程式之關係運算則可節省撰寫時間。一般關係操作元主要在兩個變數間作邏輯性比較，，然後選擇一個最佳的結果；在MATLAB之應用上實也脫離不了這些原則。只是在陣列之比較上，必須時時注意其大小之匹配。下面為一般操作元之定義：

表3.1　關係操作元

操作單元符號說明

< 小於

<= 小於或等於

> 大於

>= 大於或等於

== 等於

~= 不等於

>> A=magic(4)

A =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

>>B=round(rand(4,4)*16)

B =

7 10 11 10

15 1 12 3

13 14 12 11

15 15 6 1

>>C= (A>=B)

C =

4×4 logical array

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

0 0 1 1

若在A矩陣中，將所有A>=B之元素均設為100，

>> A(C)=100

A =

100 2 3 100

5 100 10 100

9 7 6 100

4 14 100 100

A(A>=B)=100

A =

100 2 3 100

5 100 10 100

9 7 6 100

4 14 100 100

A矩陣中只要相對應於Ｃ矩陣中之值為真，或合於A>=B條件之元素

因而均被設為100。

這種方法並不只與其他矩陣比較，與自身矩陣之元素比較亦可，例如：

>> A=magic(4)

A =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

>> A(A<10)=10

A =

16 10 10 13

10 11 10 10

10 10 10 12

10 14 15 10

程式結構與設計

源自於http://bime-matlab.blogspot.com/2006/10/blog-post_09.html

複雜的程式則是採用主程式、副程式或函數檔間相互呼叫的方式，由各檔案專司解決特定的功能，如此形成一個程式之大架構。這些程式執行過程中，必須配合執行之中間值，進行比較、判斷，最後得到適當之結果。有些檔案可能需經過多次呼叫，才能達到程式預設之目的；有些則需判斷結果之適當性，依據最佳的決策選擇執行的路徑。

在程式結構中，一般除基本指令外，尚須配合流程之控制指令，使程式能配合特定條件運作。控制指令以邏輯值進行比較，其操作元包括關係操作元及邏輯操作元等，可以應用於變數及矩陣。

在程式之運算過程中，為執行某一特定任務均有其基本之演算法。其中必須藉助控制指令以改變指令執行之順序，或稱為控制結構。這些結構必須藉其特定之關係比較，就比較結果決定程式進行的順序。這些運算法大體上可分為循序運算、條件運算及迴圈運算等三種方式。

matlab指令碼

MATLAB Script：

一個檔案包含一系列matlab命令
類似於c/c++程式
指令碼儲存為<file>.m檔案，這樣就可以執行這樣以.m結尾的matlab指令碼

使用技巧：

下面是一個matlab指令碼程式，可以執行一下，看看效果

註釋：% 註釋文字
分割槽塊：%% 一個區塊，使用執行的時候會執行整個檔案，使用執行節會只運行當前區塊。
斷點除錯：在程式程式碼行前面點選會出現一個圓圈表示斷點，當執行程式時，程式會停在此處。
程式碼縮排排版：ctrl + I
執行順序：程式碼是從上到下執行的

for i = 1:10
    x = linspace(0,10,101);
    plot(x, sin(x+i));
    print(gcf,'-deps',strcat('plot',num2str(i),'-.ps'));
end

二、程式結構化

Flow Control：

matlab中有如下的控制語句

在控制語句中，還要配合一些邏輯操作，下面是相關的邏輯操作。

if elseif else語句：

% 語句格式
if condition1
    statement1
elseif condition2
    statement2
else
    statement3
end

% 程式
a = 3;
if rem(a, 2) == 0   % rem()函式是求餘數
    disp('a is even')
else
    disp('a is odd')
end

結構化程式的作用就是控制程式的執行順序，不會像之前說到的完全按從上到下的順序執行，會跳過某條語句執行。

switch語句：

% 語句格式
switch expression
    case value1
        statement1
    case value2 
        statement2
    .
    .
    otherwise
        statement
end

% 程式
input_num = 1;
switch input_num
    case -1
        disp('negative 1');
    case 0
        disp('zero');
    case 1
        disp('positive 1');
    otherwise
        disp('other value');
end

while語句：

% 語句格式
while expression
    statement
end
% 程式
n = 1;
while prod(1:n) < 1e100  % 1-n的元素相乘
    n = n + 1;
end

for語句：

% 語句格式
for variable=start:increment:ends
    commands
end
% 程式
for n=1:10
    a(n) = 2^n;
end
disp(a)

預先定義變數空間：提升效率.

A = zeros(2000, 2000);在往這個矩陣中新增值。右邊的更快。

break語句; 用在迴圈語句中，用來終止迴圈。

結構化程式的技巧：

編寫指令碼程式程式碼之前，可以使用
- clear all; 清除之前使用過的變數
- close all; 關閉所有的figure
使用“；”在命令列的結尾，不讓命令執行
使用“...”將程式碼換行輸入。使程式碼不過於全部在一行
ctrl + C：提前截至執行的程式

三、使用者自定義函式

Built-in Functions:

matlab的自己函式，是已經定義好的函式，可以直接呼叫去使用。

edit(which('mean.m'))：開啟自建函式mean.m檔案

關鍵字：function
函式名和檔名要相匹配
目錄：matlab需要找到這個函式
輸入和輸出變數是可選的
本地變數：dim和flag不是被接受的

User Define Functions:

我們自己定義函式，完成我們所需要的功能。

% 自由落體函式
function y = freebody(x0, v0, t)
x = x0 + v0 .* t + 1/2*9.8*t.*t;

呼叫函式：freebody(0,0,10)

注意：.* 是元素之間也可以相乘

函式具有多個輸入和輸出：

2021年6月9日星期三

一元二次方程作圖問題

a=1;

b=-2;

c=1;

syms x

solve(a*x^2+b*x+c)

func=@(x)(a*x^2+b*x+c);%自定義函數

fplot(func,[-10,10]) %繪制二維圖形

xlabel('x'),ylabel('y(x)') %坐標軸的名稱標記

陣列運算

源自於http://bime-matlab.blogspot.com/2006/10/blog-post.html

矩陣為一組二維向量之實數或複數之陣列，其加減乘除之運算與一般的數學運算法略有不同，陣列通常以行向量為主，但一般運算仍可混用。即使如此，在線性代數中所定義的矩陣操作大體上
Matlab均能支援。其中諸如一般運算、線性方程、特徵值及單一值與階乘運算等均包括在內。

由於陣列所代表的是一堆有系統的數字，與另一個陣列相運算時，必須依據不同的規則才能獲得
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
操作名稱　　　　　　應用情形
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
C= A◎B－－ ◎處可為加法(+)、減法(-)、乘法(*)、左除(\)、右除(/)
C= A.◎B－－ ◎處可為乘法(*)、乘幂(^)、左除(\)、右除(/)
C= A◎c－－ ◎處可為加法(+)、減法(-)、乘法(*)、乘幂(^)、右除(/)
C= c◎B－－ ◎處可為加法(+)、減法(-)、乘法(*)、乘幂(^)、左除(\)、右除(./)

由表中可知，一個操作元前有一點與沒有一點其意義是不同的。

C= A.◎B C= A◎B

在操作元前加一點表示是項目與項目間之操作，即為所謂之對映運算方式，此時兩矩陣之大小要相同。這與一般矩陣之加法及減法相同，其運算僅針對元素間之運算。偏置功能則僅適用於矩陣間，不適用於項目間之操作。這些操作元亦可應用於矩陣與一般常數，後者之大小為[1x1]。

矩陣之加減

設C、D分別為3x3之方矩陣，且設C為魔術方塊，D為[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，即：

>> C=magic(3)

C =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

>> D=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

D =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> C+D

ans =

9 3 9

7 10 13

11 17 11

>> C-D

ans =

7 -1 3

-1 0 1

-3 1 -7

>> C*D

ans =

54 69 84

72 87 102

54 69 84

>> C/D

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =

1.652118e-18.

ans =

1.0e+16 *

3.7830 -7.5660 3.7830

0.0000 0.0000 -0.0000

-3.7830 7.5660 -3.7830

>> C\D

ans =

0.0167 0.0833 0.1500

0.7667 0.8333 0.9000

0.0167 0.0833 0.1500

C.*D與C*D兩種之運算結果，前者為對應元素相乘；後者為兩個矩陣進行數學相乘：

C =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

D =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>>C.*D %對應元素相乘
  ans =
        8   2  18
       12  25  42
       28  72  18

>>C*D ％矩陣乘法
  ans =
        54  69   84
        72  87  102
        54  69   84

例如有一化妝品系列，均由三種原料調配而成，因原料之分量會產生不同產品系列。今設有四種產品，其基本原料分別如有下份量：

>>A=[ 2 4 3; 5 2 1; 7 3 5; 4 5 6] 
A =
        2  4  3　%產品1之成分
        5  2  1　%產品2之成分
        7  3  5　%產品3之成分
        4  5  6  %產品4之成分
此時矩陣A代表四種產品（四列）之三種成份量。現設三種成分均有不同的價格，其價格設以一行向量表示，即：
>>P=[120 50 100]' 
  P =
      120
       50
      100
矩陣之第一列，其成本只要將A(1,:)與P相乘，即A(1,:)*P，其結果為：
>>A(1,:)*P 
    ans = 740
亦即代表產品1的成本，若直接計算應為
　　2 x (120) + 4x(50) +3x(100) = 740
結果與上面之A(1,:)*P相同。
故上面四種產品，若以成分矩陣Ａ與價格矩陣Ｐ，即可得四種產品之成本：
>>A*P 
  ans =
        740
        800
       1490
       1330
A之大小為(4x3)，P之大小為(3x1)，得到的結果為(3x1)。
換言之，兩矩陣相乘，第一矩陣之行與第二矩陣之列，其大小應一致。
而結果之大小應為第一矩陣之列與第二矩陣之行，或(4x3)(3x1)＝(4x1)。
以通式表示之：
      A[m,n] * B[n,p] = C[m,p]
>>D*C 
  ans =
        26   38   26
        71   83   71
       116  128  116

足見D*C與C*D的結果並不同。
但只要矩陣之大小相搭配，其分解及分配之特性則仍然存在，如：
　　A*(B+C)=A*B + A*C
或
　　(A*B)*C=A*(B*C)
若用eye(3)函數產生單位矩陣，則其無論先乘與後乘，結果都會一樣。
>>I=eye(3) 
  I = 
      1  0  0
      0  1  0
      0  0  1

>>AA*I 
   ans =
      8  1  6
      3  5  7
      4  9  2

>>I*AA 
   ans =
      8  1  6
      3  5  7
      4  9  2
結論是若Ｉ為單位矩陣，則Ｉ*A＝Ａ*Ｉ＝Ａ，顯示交換律在此情形下仍可成立。

陣列之除法
陣列除法屬逐元除法，因此兩陣列相除時必須同樣大小。例如：
>> a=[2 3 4] 
 a =

     2     3     4 
 >> b=[5 6 7] 
 b =

     5     6     7 
 >> a/b 
 ans =

    0.5091 
 >> a./b 
 ans =

    0.4000    0.5000    0.5714
>> c=[1 2;3 4]
   c =
        1     2
        3     4

>> d=[3 5; 8 7]
   d =
        3     5
        8     7

>> c./d
   ans =
       0.3333    0.4000
       0.3750    0.5714
這是兩陣列經過右除(./)運算之結果
陣列之次方
陣列之逐元運算亦可應用於次方，但其次方數必須為常數，以pascal函數產生之對稱矩陣為例：
>> A=pascal(3)
   A =
     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

>> A.^3
   ans =
     1     1     1
     1     8    27
     1    27   216

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