行列式與反矩陣

 行列式與反矩陣

源自於http://bime-matlab.blogspot.com/2006/11/101.html

在工程數學或線性代數中，行列式與反矩陣是常用的矩陣特性。尤其在討論聯立方程式之解的過程中更常用到。反矩陣有如一個矩陣的倒數，一個方矩陣若為Ａ，則其反矩陣可以A^-1表示，而其與原矩陣之關係為：

 AA-1=I   A-1A=I

其中，Ｉ稱為單位矩陣(Identity matrix)，其大小為方矩陣，而對角線元素值均為1。在MATLAB中有一個指令稱為eye，可以用以建立這種單位矩陣。

>> a=[1 2 ; 3 4];

>> b=inv(a)

b =

   -2.0000    1.0000

    1.5000   -0.5000

>> c=a*b

c =

    1.0000         0

    0.0000    1.0000

>> c=b*a

c =

    1.0000         0

    0.0000    1.0000

>> eye(2)  %單位矩陣(Identity matrix)

ans =

     1     0

     0     1

>> A=rand(4)

A =

    0.6948    0.4387    0.1869    0.7094

    0.3171    0.3816    0.4898    0.7547

    0.9502    0.7655    0.4456    0.2760

    0.0344    0.7952    0.6463    0.6797

>> B=inv(A)

B =

   -0.0503    0.8024    0.8645   -1.1895

    1.4711   -3.2118   -0.0787    2.0627

   -3.2986    3.6604    1.2312   -1.1216

    1.4180    0.2363   -1.1225    0.1848

>> B*A

ans =

    1.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

         0        1.0000    0.0000         0

   -0.0000   -0.0000    1.0000    0.0000

    0.0000    0.0000     0.0000    1.0000

>> A*B

ans =

    1.0000         0           0          -0.0000

    0.0000    1.0000   -0.0000         0

    0.0000         0       1.0000          0

         0            0      -0.0000       1.0000

Ａ、Ｂ及Ｉ均為方矩陣，且Ａ矩陣之行列式值或det(A)需不得為零，否則其反矩陣不能存在。此種矩陣不存在的情形，稱為奇異矩陣(singular)。一個矩陣若具奇異特性，則其行列值為零，

>> det(A)

ans =  -0.1222

>> det(B)

ans =  -8.1864

一個矩陣若具奇異特性，則其行列值為零，例如：

D=magic(4)

D =
 16     2     3    13
  5    11    10     8
  9     7     6    12
  4    14    15     1

d=det(D)
d =     0

行值式之值為零，表示其反矩陣不存在，故即使用inv(D)指令也會產生一些數字，但其結果並不可靠，而且會有一些警告訊息出現，例如：

dd=inv(D)

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
      Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017.
dd =
1.0e+014 *
 0.9382    2.8147   -2.8147   -0.9382
 2.8147    8.4442   -8.4442   -2.8147
-2.8147   -8.4442    8.4442    2.8147
-0.9382   -2.8147    2.8147    0.9382

上述結果之值也變成很大，顯然不是正確的值。不信的話可以用AA^-1=I， A^-1A=I 印證一下（在此至少證實一下「垃圾進拉圾出(Gabage in, gabage out」這句名言）。

所以，某矩陣是否為奇異矩陣，可以使用det進行檢驗。其值若為零則屬奇異矩陣。