特徵值及特徵向量(Eigen Value & Eigen Vector)

 特徵值及特徵向量(Eigen Value & Eigen Vector)

源自於http://bime-matlab.blogspot.com/2006/11/101.html

線性代數中，最重要的工具是利用特徵值與特徵向量（Eigenvalues & Eigenvectors）來說明方矩陣之多項式特性，此兩者均為方型矩陣。利用矩陣之操作，可以作出相等效果之矩陣等式，但型式更為簡化，或容易得解。設特徵矩陣值與特徵向量其分別為D與V，則其與原矩陣Ａ之關係如下：

 A * V= V * D

假設有一個方矩陣Ａ係由亂數函數產生，其Ｖ與Ｄ可以利用eig(Ａ)指令如下求得：

A=rand(4)
A =
    0.1493    0.8143    0.1966    0.3517
    0.2575    0.2435    0.2511    0.8308
    0.8407    0.9293    0.6160    0.5853
    0.2543    0.3500    0.4733    0.5497
>> [V,D]=eig(A)
V =
0.3565 + 0.0000i  -0.0319 + 0.5154i  -0.0319 - 0.5154i   0.7990 + 0.0000i
   0.3903 + 0.0000i  -0.3597 + 0.0363i  -0.3597 - 0.0363i  -0.4225 + 0.0000i
   0.7299 + 0.0000i   0.6898 + 0.0000i   0.6898 + 0.0000i  -0.3988 + 0.0000i
   0.4334 + 0.0000i  -0.1099 - 0.3390i  -0.1099 + 0.3390i   0.1550 + 0.0000i

D =
   1.8710 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i  -0.0006 + 0.3894i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0006 - 0.3894i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.3112 + 0.0000i
>> eig(A)
ans =
   1.8710 + 0.0000i
  -0.0006 + 0.3894i
  -0.0006 - 0.3894i
  -0.3112 + 0.0000i

>> A*V
ans =
   0.6669 + 0.0000i  -0.2007 - 0.0127i  -0.2007 + 0.0127i  -0.2487 + 0.0000i
   0.7302 + 0.0000i  -0.0139 - 0.1401i  -0.0139 + 0.1401i   0.1315 + 0.0000i
   1.3657 + 0.0000i  -0.0004 + 0.2686i  -0.0004 - 0.2686i   0.1241 + 0.0000i
   0.8110 + 0.0000i   0.1321 - 0.0426i   0.1321 + 0.0426i  -0.0482 + 0.0000i
>> V*D
ans =
   0.6669 + 0.0000i  -0.2007 - 0.0127i  -0.2007 + 0.0127i  -0.2487 + 0.0000i
   0.7302 + 0.0000i  -0.0139 - 0.1401i  -0.0139 + 0.1401i   0.1315 + 0.0000i
   1.3657 + 0.0000i  -0.0004 + 0.2686i  -0.0004 - 0.2686i   0.1241 + 0.0000i
   0.8110 + 0.0000i   0.1321 - 0.0426i   0.1321 + 0.0426i  -0.0482 + 0.0000i

由上述的演算，得知A*Ｖ及Ｖ*Ｄ是一樣的

eig()之指令尚有另外一種型式，即：

[V,D] = eig(A,B)

其中，ＡＢ分別為兩矩陣，Ｄ為對角矩陣特徵值，而Ｖ為對應之特徵向量。其關係如下：

 A * V = B * V * D

>> A=rand(3)
A =
    0.7792    0.5688    0.3371
    0.9340    0.4694    0.1622
    0.1299    0.0119    0.7943
>> B=rand(3)
B =
    0.3112    0.6020    0.6892
    0.5285    0.2630    0.7482
    0.1656    0.6541    0.4505
>> [V,D] = eig(A,B)
V =
  -0.9843 + 0.0000i   0.0745 - 0.4644i   0.0745 + 0.4644i
  -0.5288 + 0.0000i  -0.7019 + 0.2981i  -0.7019 - 0.2981i
   1.0000 + 0.0000i  -0.6476 - 0.0875i  -0.6476 + 0.0875i

D =
 -11.3119 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.6689 + 0.2421i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.6689 - 0.2421i
>> A*V
ans =
  -0.7306 + 0.0000i  -0.5596 - 0.2218i  -0.5596 + 0.2218i
  -1.0053 + 0.0000i  -0.3649 - 0.3080i  -0.3649 + 0.3080i
   0.6601 + 0.0000i  -0.5131 - 0.1262i  -0.5131 + 0.1262i
>> B*V*D
ans =
  -0.7306 + 0.0000i  -0.5596 - 0.2218i  -0.5596 + 0.2218i
  -1.0053 + 0.0000i  -0.3649 - 0.3080i  -0.3649 + 0.3080i
   0.6601 + 0.0000i  -0.5131 - 0.1262i  -0.5131 + 0.1262i