微分 積分 近似解

積分方法	敘述	優點	缺點
Trapezoidal Rule	所取之點等距時(等距離之點)，以一次Lagrange多項式求出之積分公式。	當函數的二次導數為零時(即不超過一次的多項式)求出的值和精確值完全一樣。	高次項或複雜函數，使用梯形法時，誤差很大。
Simpson’s Rule	所取之點等距時(等距離之點)，以二次Lagrange多項式求出之積分公式。	對任何次數不超過3次的多項式，使用Simpson’s Rule所得的值即為精確值。	積分區間較大時，即不適用。
Simpson’s 3-8 Rule	所取之點等距時(等距離之點)，以三次Lagrange多項式所求出之積分公式。	對任何次數不超過3次的多項式，使用Simpson’s 3-8 Rule所得的值即為精確值。	積分區間較大時，即不適用。
四等分法	所取之點等距時(等距離之點)，以四次Lagrange多項式求出之積分公式。	對任何次數不超過5次的多項式，使用四等分法所得的值即為精確值。	積分區間較大時，即不適用。
Composite Simpson’s Rule	把區間分成n個子區間，然後再對每兩個連續區間執行Simpson’s Rule，但n必需為偶數。	插入的誤差是穩定的。	有時若要提高精確度的話，要把區間分成更多的子區間，計算較複雜。
Romberg Integral	以Trapezoidal Rule 求初步之近似解，再以Richardson extrapolation process來改進其進似解。	一種應用很廣的積分方法，準確次數較高，收斂較快。

積分公式	誤差項	收斂的order
Trapezoidal rule		3
Simpson’s Rule		5
Simpson’s 3-8 rule		5
四等分法		7
Composite Simpson’s rule		4
Romberg integration 而這個數值積分程式所得出來的結果為一下三角矩陣。其公式為         for each k=2,3,…,n 以上為Composite Trapezoidal rule所得出來的結果。 為了加快速度，我們引用Richardson extrapolation process 定義 然後得出	每個值所帶來的截取誤差具有的等級。

附註：

1.      Lagrange多項式：

   

2.      Richardson extrapolation process：

   Richardson extrapolation process通常用來以低階的方法求取準確度較高的近似值。其公式為：

理論基礎：

要介紹數值微分前我先介紹微分的定義：

它代表曲線在坐標點的切線斜率，因此，只要已知x的函數f(x)，便可推導出微分結果。

什麼叫做數值微分法呢？若用來近似上述的微分定義稱為數值微分法。

欲計算一次微分有兩種近似法：

其一，為forward-difference approximation(向前差近似) 假如h>0

其二，為back-difference approximation(向後差近似) 假如h<0

無論是向前差近似或向後差近似，一次微分的的近似式至少一定要已知兩點方能計算一次微分的f’(x)的近似值。然而，若使用的點數愈多則向前差，向後差的近似式愈接近真實實函數之微分結果，換言之，準確度愈高，因此，省略誤差項目會變小。

這裡我使用目前最常用的三種數值微分方法。

微分方法	敘述	注意
Three-point Formula (1)	以forward-difference approximation用已知三點所得之方法	向前差近似法與向後差近似法的誤差的減小與h的減小成近似正比關係，但並不是一昧使h愈小能使誤差變小。數值微分是一種近似法，當取較小的h值時有時後會因為電腦運算的四捨五入(Round off)而導致誤差，而使數值微分處於不穩定，換言之，選擇適當大小的h值是一件值得重視的事。
Three-point Formula (2)	以forward-difference approximation用已知兩點所得之方法	同上
Five-point Formula	以forward-difference approximation用已知五點所得之方法	同上

微分公式	誤差項	收斂的order
Three-point Formula (1)		3
Three-point Formula (2)		2
Five-point Formula		4

現在求f’(2.0)的值。

取h=0.1得到上述式子一的答案為22.032310，使用式子二的得到22.228790，使用式子三得到22.166999。

取h=-0.1得到上述式子一的答案為22.054525。

取h=0.2得到上述式子二的公式為22.414163。

然而f’(2.0)的真實值為22.167168。

誤差項分別為0.135,-0.0616,-0.000169,0.113,-0.247

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